Dersler

Dersin kapsamını vektörler, matris cebrine giriş, determinantlar, lineer denklem sistemleri, Cramer Teoremi, ters matrisler, elemanter matris dönüşümleri, lineer denklem sistemlerinin ters matris kullanılarak çözümü, öz değer ve öz vektörler oluşturmaktadır.

Servis

Temel matematiğe giriş, koordinatlar ve vektörler, fonksiyonlar, limit, süreklilik, türev, teğet doğrular, ortalama değer teoremi, grafikler, kritik noktalar, maksimum ve minimum problemleri, doğrusallaştırma ve diferansiyeller, integral, Riemann toplamları ve belirli integraller, matematiğin temel teoremi, doğal logaritma, üstel fonksiyonlar, ters trigonometrik fonksiyonlar, L'Hospital kuralı, integral metodları, integralin uygulamaları.

Servis 

Diziler ve seriler, Taylor ve Maclaurin serileri, düzlemsel eğrilerinin uzunlukları, kutupsal koordinatlar ve kompleks sayılar, uzayda doğrular, düzlemler ve kuadratik yüzeyler, çok değişkenli fonksiyonlar, limit ve süreklilik, parçalı türevler, zincir kuralı, yönlü türevler, kritik noktalar, çok katlı integraller, kutupsal, silindirik ve küresel koordinatlarda integraller, eğrisel integraller ve yüzey integralleri.

Servis 

Gerçel sayılar, cebirsel işlemler ve temel özdeşlikler, doğruların çizimi, lineer ve ikinci dereceden denklemler, fonksiyonlar, limit, süreklilik, türev, türev alma teknikleri, marjinal analiz, yüksek mertebeden türevler, ekstremum noktalar, üstel fonksiyonlar ve logaritma fonksiyonu ve türevleri, finans matematiği, basit ve bileşik faiz hesapları, matrisler ve determinantlar, ters matrisler, lineer denklem sistemleri, Cramer kuralı, doğrusal programlama problemlerine giriş.

Servis 

Üstel fonksiyonların ve doğal logaritma fonksiyonunun tekrarı, belirli ve belirsiz integraller, alan hesabı, matematiğin temel teoremi, işletme ve ekonomiye uygulamalar, iki değişkenli fonksiyonlar, parçalı türevler, zincir kuralı, yerel maksimum ve minimumlar, olasılığa giriş, Lagrange çarpanı, iki katlı integraller ve uygulamaları, hacim hesabı.

Servis 

Sembolik mantık. Kümeler kuramı. Kartezyen çarpım. Bağıntılar ve fonksiyonlar. Eşgüçlü kümeler. Kümelerin sayılabilirliği. Denklik bağıntıları, denklik sınıfları ve ayrışımlar. Bölüm kümeleri. Sıralama bağıntıları. Matematiksel tümevarım ve yinelemeli fonksiyon tanımları.

Zorunlu 

Tekrarlı ve tekrarsız permütasyon, kombinasyon. İçerme-dışarma prensibi. Üreteç fonksiyonu. Çizge kuramının temel kavramları. Düzlemsel çizgeler. Hamilton yolları ve çizge boyama. Ağaçlar. Optimizasyon ve eşleştirme. Transport ağları.

Zorunlu 

Tek değişkenli fonksiyonlar, limit ve türev. Diferansiyel hesabın temel teoremleri: ara değer teoremi, uç değer teoremi ve ortalama değer teoremi. Uygulamalar: grafik çizimi ve maksimum-minimum problemleri.

Zorunlu 

Riemann İntegrali. İntegral hesabının Ortalama Değer Teoremi. Analizin Temel Teoremi. İntegral hesabı için teknikler. Çeşitli geometrik ve fiziksel uygulamalar. Diziler. Genelleştirilmiş integraller. Sonsuz seriler. Kuvvet serileri, Taylor serileri ve uygulamaları.

Zorunlu

Geometride aksiyomatik yapılar; sonlu geometriler, Öklid ve Öklid dışı geometriler. Çokgenler, benzer şekiller. Çemberin özellikleri. Çizimler. Katı cisimler. Derece ve radyan türünden açı ölçümü, trigonometrik fonksiyonlar ve uygulamaları, sinüs ve kosinüs teoremleri, trigonometrik fonksiyonların grafikleri, trigonometrik özdeşlikler. Kutupsal koordinatlar. Uzayda ve düzlemde vektörler. Düzlemde doğrular, uzayda doğru ve düzlemler. Konikler ve ikinci derece yüzeyleri hakkında temel bilgiler.

Zorunlu 

Matrisler, satır denkliği, ters matris, lineer denklem sistemleri, determinantlar, Cramer kuralı, vektör uzayları, lineer bağımlılık ve bağımsızlık, tabanlar, iç çarpım uzayları, Gramm-Schmidt yöntemi, ortogonal izdüşümler, Fourier serileri, öz değerler, öz vektörler, üstel matrisler, köşegenleştirme ve uygulamaları, lineer dönüşümler ve matrisleri.

Servis 

Diferansiyel denklemlerin temel kavramları, birinci mertebeden diferansiyel denklemler, lineer diferansiyel denklemlerin çözümü, sabit katsayılı diferansiyel denklemler, Cauch-Euler denklemleri, lineer diferansiyel denklem sistemleri, Laplace dönüşümleri, lineer denklemlerin lineer sistemlerin çözümüne uygulamaları, lineer denklemlerin kuvvet serileriyle çözümleri, parçalı diferansiyel denklemlere giriş, değişkenlerine ayırma.

Servis 

Çok değişkenli fonksiyonlar: limit ve süreklilik. Kısmi türevler, yönlü türevler. Teğet düzlem. Ortalama Değer Teoremi, kapalı ve ters fonksiyon teoremleri. Maksimum-minimum değerler. Vektörler için diferansiyel hesaba giriş: gradient, diverjans ve rotasyon. Çift katlı integraller, kutupsal koordinatlar. Katlı integrallerde değişken değiştirme. Üç katlı integraller: Silindirik ve küresel koordinatlar. Çizgisel integraller. Green teoremi. Yoldan bağımsızlık, tam diferensiyeller. Yüzey integralleri. Diverjans ve Stokes teoremleri.

Zorunlu 

Karmaşık sayılar cebri. Kutupsal gösterim. Analitiklik, Cauchy-Riemann denklemleri. Kuvvet serileri. Elemanter fonksiyonlar. Elemanter fonksiyonlarla dönüşüm. Doğrusal kesirli dönüşümler. Çizgisel integraller, Cauchy teoremi, Cauchy integral formülü. Taylor serileri, Laurent serileri, rezidüler, rezidü teoremi. Genelleştirilmiş integraller.

Zorunlu 

Diferansiyel denklemler ve çözümleri. Varlık ve teklik teoremleri. Birinci mertebeden denklemler ve çeşitli uygulamalar. Yüksek mertebeden doğrusal diferensiyel denklemler. Kuvvet serileriyle çözümler: Adi ve düzgün tekil noktalar. Laplace dönüşümü: başlangış değer problemlerinin çözümü. Doğrusal diferansiyel denklem sistemleri: operatör yöntemiyle çözümler, Laplace dönüşümüyle çözümler.

Zorunlu

Birinci mertebeden denklemler; doğrusal, doğrusalsı ve doğrusal olmayan denklemler. İkinci mertebeden doğrusal kısmi türevli diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması, kanonik biçimler. Dalga denklemi için Cauchy problemi. Laplace denklemi için Dirichlet ve Neumann problemleri, maksimum ilkesi. Şerit üzerinde ısı denklemi.

Zorunlu 

Matrisler ve doğrusal denklem sistemleri. Vektör uzayları, altuzaylar, altuzayların toplam ve direkt toplamları. Doğrusal bağımlılık, bağımsızlık, tabanlar, boyut, bölüm uzayları. Doğrusal dönüşümler, çekirdek, görüntü, izomorfizm. Doğrusal dönüşümler uzayı, Hom (V,W),V*, V**, transpoze. Doğrusal dönüşümlerin matrislerle gösterimi, benzerlik. Determinantlar.

Zorunlu 

Bir operatörün karakteristik ve minimal polinomları, özdeğerler, köşegenselleştirilebilme. Kanonik biçimler: Smith normal biçimi, Matrislerin Jordan ve rasyonel biçimleri. İç çarpım uzayları, norm ve ortogonallik, izdüşümler. İç çarpım uzayları üzerinde linner operatörler, bir operatörün adjointi, normal, self adjoint, birimsel ve pozitif operatörler. Çift doğrusal ve karesel biçimler.

Zorunlu 

Kümeler kuramının dil ve aksiyomları. Sıralı çiftler, bağıntılar ve fonksiyonlar. Sıralama bağıntısı ve iyi sıralı kümeler. Ordinal sayılar, transfinite indüksiyon, ordinal sayıların aritmetiği. Nicelik ve nicel sayıların aritmetiği. Seçme aksiyomu, genelleştirilmiş kontinyum hipotezi.

Bölüm Seçmeli 

Mısır ve Mezopotamya'da matematik, İyonya ve Pisagorcular, Zeno paradoksları. Plato, Aristo, İskenderiyeli Öklid, Arşimed, Appolonyus ve Diofantus. Çin'de ve Hindistan'da matematik. Rönesans matematiği, müslümanların katkıları. Fermat ve Descartes dönemi. Limit kavramının gelişimi, Newton ve Leibniz'in çalışmaları, Gauss ve Cauchy'nin katkıları. Öklid dışı geometriler. Analizin aritmetizasyonu. Soyut cebirin ortaya çıkışı. Yirminci yüzyılın çeşitli yönleri.

Bölüm Seçmeli 

Riskin tanımı, risk yönetimi, riskin ve riski gidermenin ölçülmesi. Risk dağılımının modelleştirilmesi, temel prim oranı ve ihtiyat ayırma teknikleri. Reasürans, bireysel ve topluluk açısından risk teorisi, güvenirlilik teorisi, toptan yıkım teorisi.

Bölüm Seçmeli 

Yaşam süresinin çoklu kısalma modelleri, aktüaryal fonksiyonlar, emeklilik plânlarının tasarım ve finansmanı.

Bölüm Seçmeli 

Basit ve bileşik faizler. Yatırımın başlangıçtaki ve gelecekteki değeri, para akışı. Ayrık olasılık, koşullu olasılık, ayrık rastgele değişkenler. Dağılım fonksiyonu ve beklentiler. Sürekli rastgele değişkenler, dağılım fonksiyonu ve beklentiler. Varyans ve Standard sapma. Normal rastgele değişkenler. Merkez limit teoremi ve longnormal değişkenler. Lineer programlama. Dual Problemler. Finans matematiğinin temel teoremi ve uygulamaları. Rastlantısal yürüyüş kuramı ve Brown hareketi. Poisson ve Laplace denklemleri. Stokastik süreç ve piyasa uygulamaları. Wiener ve Ito prosesleri. Piyasa seçenekleri, fiyatlandırma. Black-Scholes diferansiyel denklemi. Black-Scholes denkleminin çözümleri.

Bölüm Seçmeli 

Reel sayılar sistemi. Metrik uzaylar. Metrik uzayın tamlanması. Metrik uzaylarda sürekli fonksiyonlar. Kompaktlık ve bağlantılılık. Süreklilik ve kompaktlık. Contraction mapping theorem and its applications. Arzela-Ascoli Teoremi.

Zorunlu

Kümenin elemanları teorisi. Basamak fonksiyonları yardımıyla Riemann integralinin tanımı. R^n'de outer ölçümü; ölçülebilir kümeler ve Lebesgue ölçümü. Ölçülebilir kümelerin özellikleri; ölçülemez kümeler. Kantor kümesi, Sigma-Cebri, Borel kümeleri ve Borel ölçümleri. Ölçülebilen fonksiyonlar. Lusin ve Egoroff teoremleri. Lebesgue integrali. Lebesque integralinin temel teoremi: Lebesgue, Fatou ve Levi teoremleri. Ölçülebilir uzaylarda genel ölçüm ve Lebesque integrali. L_p-uzayları. Uygulamalar: L_p ve Sobolev Uzayları.

Zorunlu 

Fourier serileri. Fourier dönüşümü, ters Fourier dönüşümü. Laplace dönüşümü. Laplace dönüşümü için inversiyan integrali (karmaşık çevre integrasyonu). Laplace dönüşümünün adi, kısmi türevli ve integral denklemlere uygulamaları. Z-dönüşümü. Z-dönüşümü için inversiyon integrali. Z-dönüşümünün fark denklemlerine ve doğrusal ağlara uygulamaları.

Bölüm Seçmeli 

Gama ve beta fonksiyonları. Pochhammer simgesi. Hipergeometrik seriler. Hipergeometrik diferensiyel denklemler; adi ve confluent hipergeometrik fonksiyonlar. Genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyonlar. Bessel fonksiyonları; fonksiyonel bağıntılar, Bessel diferansiyel denklemi. Bessel fonksiyonlarının ortogonalliği. Legendre fonksiyonları, Hermite polinomları.

Bölüm Seçmeli

Gruplar, altgruplar, normal altgruplar ve bölüm grupları. İzomorfizm teoremleri. Direkt çarpımlar. Kümeler üzerinde işleyen gruplar. Sınıf denklemi. Sylow teoremleri ve sonlu değişmeli grupların temel teoremi. Halkalar, izomorfizm teoremleri. Asal ve maksimal idealler. Tamlık bölgeleri, kesir cisimleri. Öklid bölgeleri, TÜİB, TÇB, polinomlar, çok belirsizli polinomlar. Cisim genişlemeleri. Bazı geometrik çizimlerin olanaksızlığı. Sonlu cisimler.

Zorunlu 

Bölünebilme, kongrüanslar, Euler teoremi, Çin kalan teoremi ve Wilson teoremi. Aritmetik fonksiyonlar. İlkel kökler. Karesel kalanlar ve karesel resiprosite. Diofant denklemleri.

Bölüm Seçmeli 

R3'te eğriler, Frenet formülleri. Düzenli yüzeyler. Düzenli değerlerin ters görüntüleri. Yüzeyler üzerinde türetilebilir fonksiyonlar. Teğet düzlem; bir dönüşüm diferensiyeli, vektör alanları, birinci temel form. Gauss dönüşümü, ikinci temel form, normal eğrilik, esas eğrilik, esas doğrultular ve asimptotik doğrultular. Yerel koordinatlarda Gauss dönüşümü. Kovaryant türev, jeodezikler.

Zorunlu 

Yakınsaklık, kararlılık, hata analizi ve koşullandırma. Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü: LU ve Cholosky çarpanlamaları, pivotlama, Gauss eliminasyonunda hata analizi. Matris özdeğer problemleri, kuvvet yöntemi, orthogonal çarpanlama ve en küçük kareler problemleri. Doğrusal olmayan denklem çözümleri. Newton'un kesen ve sabit nokta iterasyon yöntemleri.

Bölüm Seçmeli

İndirgemeler hakkında tanıtıcı bilgi. Programların yapısı, hazır önek işleçler. Altprogramlar. Bir bilgisayar cebir sistemi. Bir bilgisayar cebir sistemi nasıl kullanılır. Polinomların gösterimi, gerçek fonksiyonlar, cebirsel fonksiyonlar, matrisler ve seriler. İleri algoritmalar. Farklı değişkenlerle en büyük ortak bölen. Modüler yöntemlerin diğer uygulamaları. P-adic yöntemler. Biçimsel entegrasyon ve diferansiyel denklemler.

Bölüm Seçmeli 

Topolojik uzaylar; taban, alttaban, altuzaylar. Kapalı kümeler, limit noktaları. Hausdorff uzayları. Sürekli fonksiyonlar, homeomorfizmler. Çarpım topolojisi. Bağlantılı uzaylar, bileşenler, yol bağlantılılık, yol bileşenleri. Tıkızlık, dizisel tıkızlık, metric uzaylarda tıkızlık. Regüler ve normal uzayların tanımı. Urysohn yardımcı teoremi, Tietsze genişleme teoremi.

Bölüm Seçmeli

Optimizasyonun önemi, konveks analizde temel tanım ve ilk bilgiler. Doğrusal ve konveks programlama kuramı, simpleks yöntemi ve uygulamaları, doğrusal olmayan programlama, arama yöntemleri, klasik varyasyonel hesabın temel fikirleri, optimal kontrol kuramı. Pontraygin'in maksimum ilkesi ve dinamik programlama, optimal control için doğrusal kuram.
Zorunlu 

Koşulsuz optimizasyon: Optimallik koşulları, dışbükeylik ve geometric programlama, Newton yöntemi, kuazi-Newton ve eşlenik gradient yöntemler. Koşullu optimizasyon: Karucsh-Kuhn-Tucker kuramı, ikinci mertebeden koşullar, eşitlik ve eşitsizliklerle verilen koşullar. Doğrusal programlama: optimallik ve nitelik, simpleks yönteminin temelleri ve içnokta yöntemleri.

Bölüm Seçmeli 

Sigortacılıkta ileri istatistiksel yöntemler, fiyatlandırma, zarardan dönüş yöntemleri, yinelemeli sigorta modelleri, sigortanın karşılanabilirliği, sigortacılıkta simülasyon modelleri, mali kuruluş olarak sigorta firmaları.

Bölüm Seçmeli 

Diferensiyel. Ters ve kapalı fonksiyon teoremleri. Öklid uzayının alt kümelerinde integrasyon. Tensörler. Diferensiyel formlar. Manifoldlarda integral. Stokes teoremi. 

Bölüm Seçmeli 

Riemann integralinin gözden geçirilmesi. Rn 'de Lebesgue ölçümü sıfır olan kümeler, Riemann integrallenebilen fonksiyonların karakterizasyonu. Lebesgue integrallenebilen fonksiyonlar ve Rn 'de Lebesgue integrali. Yakınsaklık teoremleri, Lusin ve Egorov teoremleri. Fubini teoremi. Seçme uygulamalar.

Bölüm Seçmeli

Normlu doğrusal uzaylar, Banach uzayları. Hahn-Banach teoremi ve sonuçları. Baire kategori teoremi. Düzgün sınırlılık ilkesi. Açık dönüşüm ve kapalı çizge teoremleri. Hilbert uzayları.

Bölüm Seçmeli 

Gruplar, bölüm grupları, izomorfizma teoremler, alterne ve dihedral gruplar, direkt çarpımlar, serbest gruplar, üreteçler ve bağıntılar, serbest abelian gruplar, sonlu üretilmiş abelian gruplar. Sylow teoremleri, nilpotent ve çözülebilir gruplar, normal ve yarı normal seriler. Halkalar, halka homomorfizmaları, idealler, değişmeli halkalarda çarpanlara ayrılış, bölüm halkaları, lokalizasyon, temel ideal bölgeleri, Öklid bölgeleri, tek türlü asal çarpanlarına ayrılabilen bölge, polinomlar ve kuvvet serileri, polinom halkalarında çarpanlara ayrılış.

Bölüm Seçmeli 

Riemann metriği, Riemann uzayı, bir eğrinin yay uzunluğu, iki vektör arasındaki açı. Mutlak türev, bir vektör alanının bir eğri boyunca paralel kayması, geodezikler, geodezik koordinatlar, Riemann koordinatları. Alt uzaylar, hiperyüzeyler, eğrilik tensörü, Ricci tensörü, Bianchi özdeşliği. Riemann eğriliği, Schur teoremi. Einstein uzayları. Hiperyüzeyler için Mainardi-Codazzi denklemleri, Gauss denklemi.

Bölüm Seçmeli 

Farklar hesabı. Doğrusal fark denklemleri: birinci mertebeden denklemler, yüksek mertebeden denklemler. Fark denklemi sistemleri. Temel teori. Doğrusal periyodik sistemler. Kararlılık kuramı. Doğrusal yaklaşım. Lyapunov'un ikinci yöntemi. Z-dönüşümü.

Bölüm Seçmeli 

Kısmi türevli diferansiyel denklemlerde sınır değer problemlerinin matematiksel modellemesi. Dirichlet ve Neumann problemlerinin ifadesi. Green fonksiyonları. Çözümlerin asimptotik analizi. Pertürbasyon teknikleri. İntegral denklemlere giriş, Volterra ve Fredholm denklemleri, Neumann serileriyle çözümler ve özdeğer problemleriyle bağlantılar.

Bölüm Seçmeli 

Bu dersin amacı, pür ve/veya uygulamalı matematikte dikkat çeken son gelişmeleri tartışmaktır.

Bölüm Seçmeli

Bu dersin amacı, pür ve/veya uygulamalı matematikte dikkat çeken son gelişmeleri tartışmaktır.

Bölüm Seçmeli 

Bu projenin, öğrencileri, bağımsız olarak, bir konuyu derinlemesine inceleyip bu konuda mezuniyet tezi hazırlamalarına imkan sağlaması beklenmektedir.

Zorunlu